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En este vídeo veremos los productos del momento de inercia y su relación con los ejes principales.
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¿Qué es el producto del momento de inercia?
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Matemáticamente, el producto del momento de inercia es la integral de x, por y, por un momento de área diferencial sobre un dominio completo.
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Si tenemos una sección transversal arbitraria y le damos un marco de coordenadas xy,
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lo que realmente hacemos es mirar elementos de área pequeña dA y multiplicar esa área por sus coordenadas y y x.
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Y sumamos todas estas áreas en todo el dominio.
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El eje principal es un eje particular donde este momento de inercia del producto es igual a 0.
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¿Cuándo sucede?
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El producto del momento de inercia es 0 cuando las sumas dan 0.
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Y aquí debes mirar la multiplicación de las coordenadas x e y porque las áreas dA son siempre positivas.
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Si miramos x veces y en un sistema de coordenadas general, en el cuadrante positivo x positivo y, ese producto es positivo.
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En positivo x negativo y el producto es negativo, en negativo x negativo y, es positivo,
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y en negativo x positivo y es negativo.
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Entonces, que el producto del momento de inercia sea igual a cero significa que si tenemos una sección transversal,
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los dos cuadrantes en los que el producto es positivo se equilibran en términos de x por y por dA con los dos cuadrantes negativos.
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Estas áreas deben equilibrarse entre sí, pero no es solo el área, es el área multiplicada por sus coordenadas x e y.
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Esto se satisface automáticamente si los ejes x o y son ejes de simetría y pasan por el centroide,
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que es un requisito para colocar un sistema de coordenadas dentro de una sección transversal en nuestros problemas.
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¿Qué sucede con los ejes antisimetría?
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Bien, es fácil confundir el hecho de que debemos equilibrar lo que sucede en estos cuadrantes diagonales entre sí,
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que los ejes antisimetría también producirán un producto del momento de inercia igual a cero.
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Si tomamos una sección antisimétrica y la rotamos de modo que nuestros ejes x e y sean los ejes antisimetría,
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lo que podemos ver en realidad es que el centroide tiene que localizarse.
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Las áreas se equilibran entre sí en términos del cálculo del centroide,
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que es la coordenada x por dA y la coordenada y por dA pero no x por y por dA.
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Así que debemos vigilar que no sea una gran área, en este ejemplo en particular, en nuestros cuadrantes de producto negativo,
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pero casi nada de área en los positivos.
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Así que en realidad, no se equilibra,
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por lo que los ejes antisimetría no son los ejes principales.
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De hecho, los ejes principales rotarán en relación con sus ejes antisimetría y puedo mostrar visualmente que aquí,
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donde ahora tenemos un área en los cuadrantes positivos, el valor de y es bastante elevado.
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Y esa área multiplicada por sus coordenadas x e y debe equilibrar las áreas en los cuadrantes del producto x e y negativos.
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Ahora bien, no es que las áreas sean iguales.
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Ten cuidado, es x veces y, multiplicado por dA, el resultado de todo eso,
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por lo que normalmente tienes que calcularlo matemáticamente.
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Esto muestra que los ejes antisimetría no son los principales.
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Y esto es importante porque usamos muchos ejes antisimetría para tareas como encontrar el centroide; estará en un eje antisimetría.
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Lo usaremos para centros de corte que aprenderemos más adelante.
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Así que es fácil confundirlo,
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puedes cometer el error de que sea un eje principal cuando en realidad no lo es.